出自:河南理工大学-复变函数与积分变换

[填空题,20分] 所表示的区域.的形状为________ 。
[填空题,20分] z =0 为点集 的 ______________ 点。
[填空题,20分] 以实轴和直线y=1所夹的带形区域的集合表示为___________。
[计算题,20分] 函数把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？ 1) ； 2) y=x； 3) x=1； 4)
[填空题,20分] z 平面上的点 1+i 在 映射 下的象为 w 平面上的点 _ _ 。
[填空题,20分] 设f(z)=z4-z2，则f(1-i)= _ 。
[填空题,20分] 区域 在映射 下的象为 ___ 。
[填空题,20分] 设 为有理分式函数，且 ，则 _____ 。
[综合题,6.2分] 求函数傅氏变换。 解：∵ℱ ℱ ℱ ℱ 从而ℱ
[综合题,6.2分] 求将单位圆映射成单位圆且满足的分式线性映射。 解 由条件知，所求的映射要将|z|<1内的点映射成|w|<1的中心。 所以 由此得 由于因此为正实数，从而，即φ=0,故所求映射为 。（请填写正确的结果）
[综合题,6.2分] (1) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式.
[综合题,6.2分] 设ℒ，证明 ℒ，并计算ℒ，其中. 证明： 由ℒ，得 ， 于是 ℒ 问题1：证明过程对吗？ 下面计算ℒ： ℒ，由积分性质，有 ℒ 再由上面结果，便有 ℒ 问题2：解答过程有错误吗？
[综合题,6.2分] （1）求f(z)=在圆域|z|<1内的所有奇点； （2）求f(z)在上述奇点处的留数； （3）利用留数定理计算实积分I=dx 解 由于，故 （1）在圆域|z|<1内有两个一级极点z=0, z=. 问题1：根据解题过程回答（1）中的两个一级极点分别是（ ）？ （2）， 问题2：根据解题过程回答（2）中所求的奇点的留数为（ ）。 （3）令, 则，且当x从0到2π时，z沿正向圆周|z|=1绕行一周，于是 由留数定理，得 问题3：根据解题过程回答（3）中所求的实积分为（ ）。
[综合题,6.2分] 利用留数求积分的值。
[综合题,6.2分] 设函数，求在内的导数。
[综合题,6.2分] 把函数表成形如的幂级数，其中a与b为不相等的复常数。 解 把函数写成如下的形式 当时，利用结果 当|z|<1时，有 便得 从而 (请填入正确的答案）
[综合题,6.2分] 写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。 解 函数距原点最近的奇点为，故的幂级数的收敛半径为。由于，得，再 ， 由幂级数的除法，设 注意到为偶函数，故，于是 比较系数，便得，故 上述解答过程是否正确？
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解微积分方程： 解： 设ℒ，对微分方程 两边取拉氏变换并由 ℒ及ℒ 得 将初始条件代入，得 取拉氏逆变换，得
[综合题,6.2分] 设D为Z平面上由相交于z=的两圆弧围成的月牙形区域，两圆弧在z=i处的夹角为（如图）： （1）将D映射为W1平面上的区域D1， 问D1是什么区域？ （2）w=将D1映射为W平面上什么区域？ （3）w=将D映射为W平面上什么区域？ 上述解答过程正确吗？
[综合题,6.2分] (1)求在上半平面内的所有孤立奇点; (2)求f(z)在以上各孤立奇点的留数; (3)利用以上结果计算I=.
[综合题,6.2分] （1）求cost的拉氏变换[cost]； （2）设F(s)=[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导,[y〃(t)]存在,且y(0)=0, y＇(0)=1，求[y〃(t)]； （3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： 解： (1) ℒ （问题1） (2) 由拉氏变换的微分性质 ℒ 有 ℒ 将y(0)=0, y＇(0)=1代入，即得 ℒ （问题2） (3) 对微分方程两边取拉氏变换，得 ℒ3 ℒ, 由上面结果及ℒ便得 （问题3）对上式取拉氏逆变换：为F(s)在复平面内的所有奇点，且均为一级 极点，于是 ?（问题4）
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解常微分方程组 解：设ℒ,ℒ, ℒ对方程组取拉氏变换，有 代入初始条件得 ，而 的拉氏原象为,的拉氏原象为，由卷积定理，有 问题：请将正确的结果填入有问号的空中。
[综合题,6.2分] 求函数的傅氏变换。 解 由于 ℱ 利用象函数的微分性质ℱ, 就有 ℱ 。 （注：）
[综合题,7分] 设ℒ，证明ℒ并计算ℒ 证明：令at=u，则 ℒ 问题1：证明过程正确吗？ ℒ。 问题2：计算结果对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解微分方程 解 因为 所以 可用不同的方法求出y(t): 方法1：直接利用反演定理 方法二，利用已知函数的拉氏原象 >-1 这两种方法对吗？
[计算题,50分] 利用拉氏变换求解常系数线性微分方程 的特解。 解： 设> 对方程取拉氏变换，并由拉氏变换的微分性质及位移性质 > > > 将代入，即得 > > 于是，有 而 (> )，再由象函数的微分性质，便有 > )。 从而所求特解为：
[计算题,50分] 求 的卷积 。
[计算题,50分] 求函数 的拉氏逆变换 解：. 当s →∞时，F(s)→0， 且F(s)在复平面内的所有奇点为z= ±i, ±2，均为一级极点，根据拉氏反演定理，F(s)的拉普拉斯原象f(t)为 =？
[填空题,100分] 若 > ，且 存在， 则 _____
[计算题,33.3分] 求函数的拉氏变换，并给出收敛域。 解：∵ ∴ 收敛域为：？
[填空题,33.3分] 设 > [f(t)]=F(ω), 则 > _____
[填空题,33.4分] 指数函数 (a 为实数 ) 的拉氏变换为 _______
[填空题,100分] 设>[f1(t)]=F1(ω), >[f2(t)]=F2(ω),则>
[计算题,50分] 求函数的傅氏变换，其中 解 > [ .
[填空题,50分] 函数 f (t) 无穷次可微，则 ______
[计算题,50分] 求函数的傅里叶积分。 解 显然，函数都满足傅里叶积分存在定理的条件. 下面利用傅氏积分公式 求函数傅氏积分. 上面的推导结果正确吗？
[填空题,50分] 设F [ f ( t )]= F(ω), 则F =（ ）。
[填空题,100分] 根式函数 (n 为正整数 ) 将角形域 映射成 __ _ .
计算题,100分] 求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足 ， 的分式线性映射。 解：将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内的分式线性映射形如 且由得 又 即 所以
[计算题,50分] 求将点 z =1 ， 0 ， i 分别映射成点 w =∞, 0 ， 的分式线性映射。
[填空题,50分] 将 z =,0 和 1 分别对应 和 的分式线性映射 =____
[计算题,33.3分] 求将上半平面Imz映射成单位圆 | w | < 1内的分式线性映射。 解 我们在实轴上任意取定三点使它们依次对应到|w|=1上的三点那么由于与绕向相同，则根据保交比性，就有 即得 w = ? (请给出正确的答案）
[填空题,33.3分] 若f(z)在区域D内任一点z0解析，且，则映射f(z)为D的____映射.
[填空题,33.4分] 在 z =1 处的伸缩率是 _____
[计算题,50分] 应用留数的相关定理计算积分 解：原式= , ,
[计算题,50分] 利用留数计算实积分
[计算题,100分] 应用留数的相关定理计算积分
[计算题,25分] 设C为正向圆周，求．
[计算题,25分] 指出 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
res[sinz/z3,0]=()
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